Упр.12.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что данное число $$T$$ является периодом заданной функции: а) $$y=\sin 2x$$, $$T=\pi$$; б) $$y=\cos 3x$$, $$T=\frac{2\pi}{3}$$; в) $$y=\sin \frac{x}{2}$$, $$T=4\pi$$; г) $$y=\cos \frac{3x}{4}$$, $$T=\frac{8\pi}{3}$$.

Для каждой функции проверим, что при прибавлении числа $$T$$ значение функции не изменяется:

1. $$y=\sin 2x,\quad T=\pi$$

   $$y(x+\pi)=\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin 2x.$$

   Значит, $$\pi$$ — период функции.

2. $$y=\cos 3x,\quad T=\frac{2\pi}{3}$$

   $$y\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos 3\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x+2\pi)=\cos 3x.$$

   Значит, $$\frac{2\pi}{3}$$ — период функции.

3. $$y=\sin \frac{x}{2},\quad T=4\pi$$

   $$y(x+4\pi)=\sin \frac{x+4\pi}{2}=\sin\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\sin \frac{x}{2}.$$

   Значит, $$4\pi$$ — период функции.

4. $$y=\cos \frac{3x}{4},\quad T=\frac{8\pi}{3}$$

   $$y\!\left(x+\frac{8\pi}{3}\right)=\cos \frac{3}{4}\left(x+\frac{8\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{3x}{4}+2\pi\right)=\cos \frac{3x}{4}.$$

   Значит, $$\frac{8\pi}{3}$$ — период функции.

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$\frac{2\pi}{3}$$; в) $$4\pi$$; г) $$\frac{8\pi}{3}$$.