Упр.11.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{если } x<0,\\ \cos x, & \text{если } x\geq 0;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & \text{если } x\leq \frac{\pi}{2},\\ \sin x, & \text{если } x>\frac{\pi}{2}.\end{cases}$$
а) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ \cos x, & x\ge 0 \end{cases}$$
при $$x<0$$ график — прямая $$y=x+1$$, она проходит через точки $$(-1;0)$$ и $$(0;1)$$, но точка $$(0;1)$$ не входит в эту часть графика. При $$x\ge 0$$ строим график $$y=\cos x$$, начиная с точки $$(0;1)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;1].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],\quad n\ge 0,$$
убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\ge 0.$$
Функция ограничена сверху, наибольшее значение равно $$y_{\max}=1.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, не является периодической, непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$
б) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} \cos x, & x\le \dfrac{\pi}{2},\\ \sin x, & x>\dfrac{\pi}{2} \end{cases}$$
при $$x\le \dfrac{\pi}{2}$$ строим график $$y=\cos x$$, при этом точка $$\left(\dfrac{\pi}{2};0\right)$$ входит в график. При $$x>\dfrac{\pi}{2}$$ строим график $$y=\sin x$$, начиная с точки $$\left(\dfrac{\pi}{2};1\right),$$ которая не входит в график.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=[-1;1].$$
Функция возрастает на $$[-\pi-2\pi n;\,-2\pi n]\cup\left[\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{5\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\ge 0,$$
убывает на $$[-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n]\cup\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\ge 0.$$
Функция ограничена снизу и сверху,
$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$
Функция ни чётная, ни нечётная, не является периодической, непрерывна на $$(-\infty;\dfrac{\pi}{2})\cup(\dfrac{\pi}{2};+\infty).$$
в) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{2}{x}, & x<0,\\ -\cos x, & x\ge 0 \end{cases}$$
при $$x<0$$ строим ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{2}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=-\cos x$$, начиная с точки $$(0;-1)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\ge 0,$$
убывает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],\quad n\ge 0.$$
Функция ограничена снизу, $$y_{\min}=-1.$$
Функция имеет разрыв (скачок) при $$x=0.$$
г) Для функции
$$f(x)= \begin{cases} -\cos x, & x<0,\\ 2x^2-1, & x\ge 0 \end{cases}$$
при $$x<0$$ строим график $$y=-\cos x$$, при $$x\ge 0$$ — параболу $$y=2x^2-1$$ с вершиной в точке $$(0;-1)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[0;+\infty),$$
убывает на $$(-\pi+2\pi n;\,2\pi n),\quad n\ge 0.$$
Функция ограничена снизу, $$y_{\min}=-1.$$
Функция имеет разрыв (скачок) при $$x=0.$$
