Упр.11.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\cos x$$:
   а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
   б) на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$;
   в) на луче $$\left[-\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$;
   г) на полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$.

Функция $$y=\cos x$$ на промежутках монотонности принимает наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка или на границах промежутка, если они входят в область рассмотрения.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, значит:

   $$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y_{\min}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

2. На интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$ функция сначала возрастает на $$(-\pi;0]$$, затем убывает на $$[0;\frac{\pi}{4})$$. Наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y_{\max}=\cos 0=1.$$

   Наименьшее значение не достигается, так как точка $$x=-\pi$$ не входит в интервал, а $$\cos x$$ стремится к $$-1$$ при $$x\to -\pi+0$$.

   Следовательно, $$y_{\min}$$ не существует.

3. На луче $$\left[-\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$ содержится полный период функции $$y=\cos x$$, поэтому

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-1, \qquad y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ также встречаются значения функции $$\cos x$$ от $$-1$$ до $$1$$. При этом

   $$\cos 0=1, \qquad \cos \pi=-1.$$

   Следовательно,

   $$y_{\min}=-1, \qquad y_{\max}=1.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\ y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$.