Упр.11.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Дано: $$f(x)=2x^2-3x-2$$. Докажите, что $$-f(\cos x)=2\sin^2(x)+3\cos x$$.
   б) Дано: $$f(x)=5x^2+x+4$$. Докажите, что $$f(\cos x)=9+\cos x-5\sin^2(x)$$.

а) Подставим вместо аргумента функции $$\cos x$$:

$$-f(\cos x)=-\bigl(2\cos^2 x-3\cos x-2\bigr)$$

$$= -2\cos^2 x+3\cos x+2$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то

$$-2\cos^2 x+2=2(1-\cos^2 x)=2\sin^2 x$$

Следовательно,

$$-f(\cos x)=2\sin^2 x+3\cos x.$$

Что и требовалось доказать.

б) Подставим вместо аргумента функции $$\cos x$$:

$$f(\cos x)=5\cos^2 x+\cos x+4$$

Преобразуем, используя $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$5\cos^2 x+4=9-5(1-\cos^2 x)=9-5\sin^2 x$$

Тогда

$$f(\cos x)=9+\cos x-5\sin^2 x.$$

Что и требовалось доказать.