Упр.11.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является нечётной, если:
а) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$;
б) $$f(x)=x^5\cdot\cos3x$$;
в) $$f(x)=\frac{\cos x3}{x(25-x^2)}$$;
г) $$f(x)=x^{11}\cdot\cos x+\sin x$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x\cdot \cos x.$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\sin(-x)\cdot \cos(-x)=-\sin x\cdot \cos x=-f(x).$$
Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^5\cdot \cos 3x.$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=(-x)^5\cdot \cos(3(-x))=-x^5\cdot \cos 3x=-f(x).$$
Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.
в) Рассмотрим функцию $$f(x)=\dfrac{\cos x^3}{x(25-x^2)}.$$
Область определения задаётся условием
$$x(25-x^2)\ne 0,$$
то есть $$x\ne 0,\; x\ne 5,\; x\ne -5.$$ Область определения симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\dfrac{\cos(-x)^3}{-x\bigl(25-(-x)^2\bigr)}=\dfrac{\cos(-x^3)}{-x(25-x^2)}=-\dfrac{\cos x^3}{x(25-x^2)}=-f(x).$$
Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.
г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^{11}\cdot \cos x+\sin x.$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=(-x)^{11}\cdot \cos(-x)+\sin(-x)=-x^{11}\cdot \cos x-\sin x=-\bigl(x^{11}\cdot \cos x+\sin x\bigr)=-f(x).$$
Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.
