Упр.11.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является чётной, если:
а) $$f(x)=x^2\cos x$$;
б) $$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}$$;
в) $$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{\lvert x\rvert}$$;
г) $$f(x)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1)$$.

Подробный ответ

Проверим чётность по определению: функция чётная, если для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x).$$

$$f(x)=x^2\cos x.$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Тогда
$$f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}.$$
Область определения: $$4-x^2\ne 0,\quad x\ne \pm 2.$$
Она симметрична относительно нуля. Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{4-(-x)^2}=\frac{\cos(-x^3)}{4-x^2}=\frac{\cos x^3}{4-x^2}=f(x).$$
Значит, функция чётная.
$$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Она симметрична относительно нуля. Имеем
$$f(-x)=\frac{\cos 5(-x)+1}{|-x|}=\frac{\cos 5x+1}{|x|}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1).$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Тогда
$$f(-x)=(4+\cos(-x))(\sin^6(-x)-1)=(4+\cos x)((-\sin x)^6-1)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1)=f(x).$$
Значит, функция чётная.