Упр.11.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos x \geqslant 1+|x|$$;

б) $$2\cos x \leqslant 2+x^4$$.

а) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ а $$1+|x| \ge 1,$$ то при $$x \ne 0$$ правая часть строго больше $$1$$, значит неравенство $$\cos x \ge 1+|x|$$ невозможно.

При $$x=0$$ получаем:

$$\cos 0=1,\qquad 1+|0|=1,$$

следовательно, неравенство выполняется.

Итак, $$x=0.$$

б) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$2\cos x \le 2.$$

С другой стороны, $$x^4 \ge 0,$$ значит

$$2+x^4 \ge 2.$$

Следовательно, для любого $$x \in \mathbb{R}$$ выполняется

$$2\cos x \le 2 \le 2+x^4,$$

то есть данное неравенство верно при всех действительных значениях $$x$$.

Ответ: а) $$x=0$$; б) $$x \in (-\infty;+\infty).$$