Упр.11.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько решений имеет система уравнений:
   а) $$y=\cos x,\quad y=-x^2+2x-3$$;
   б) $$y=\cos x,\quad y=\frac{2}{x}$$;
   в) $$y=\cos x,\quad y=x^2-3$$;
   г) $$y=\cos x,\quad |x|-y=0$$.

Рассмотрим пересечение графиков каждой системы.

1. $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=-x^2+2x-3 \end{cases}$$

   Парабола $$y=-x^2+2x-3$$ имеет вершину в точке $$\left(1,-2\right)$$ и целиком лежит ниже оси $$Ox$$, так как

   $$-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2\le -2.$$

   А функция $$y=\cos x$$ принимает значения только из промежутка $$[-1;1]$$. Значит, графики не пересекаются.

   Ответ: решений нет.

2. $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$$

   Графики синусоиды и гиперболы пересекаются бесконечно много раз, поэтому система имеет бесконечно много решений.

   Ответ: бесконечно много решений.

3. $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=x^2-3 \end{cases}$$

   Парабола $$y=x^2-3$$ имеет вершину в точке $$\left(0,-3\right)$$. Пересечение с графиком $$y=\cos x$$ происходит в двух точках, значит система имеет два решения.

   Ответ: 2 решения.

4. $$\begin{cases} y=\cos x,\\ |x|-y=0 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} y=\cos x,\\ y=|x| \end{cases}$$

   Графики $$y=\cos x$$ и $$y=|x|$$ пересекаются в двух точках, значит система имеет два решения.

   Ответ: 2 решения.