Упр.11.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos x=\sqrt{x}+1$$; б) $$\cos x=\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$$; в) $$\cos x=-(x-\pi)^2-1$$; г) $$\cos x=|x|+1$$.

Сравним графики функций и найдём точки их пересечения.

а)

$$\cos x=\sqrt{x}+1$$

Функция $$y=\sqrt{x}+1$$ определена при $$x\ge 0$$ и начинается в точке $$\left(0;1\right)$$. График $$y=\cos x$$ проходит через эту же точку только при $$x=0$$:

$$\cos 0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

Значит, единственное решение:

$$x=0.$$

б)

$$\cos x=\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$$

Область определения правой части: $$x\ge \frac{\pi}{2}$$. При $$x=\frac{\pi}{2}$$ имеем:

$$\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sqrt{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=0.$$

Следовательно, графики пересекаются в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$.

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

в)

$$\cos x=-(x-\pi)^2-1$$

Правая часть не больше $$-1$$, а у функции $$y=\cos x$$ минимальное значение равно $$-1$$. Равенство возможно только при

$$\cos x=-1,\qquad -(x-\pi)^2-1=-1.$$

Из второго уравнения получаем:

$$(x-\pi)^2=0,\qquad x=\pi.$$

Проверка:

$$\cos\pi=-1.$$

Значит,

$$x=\pi.$$

г)

$$\cos x=|x|+1$$

Так как $$|x|+1\ge 1$$, а $$\cos x\le 1$$, равенство возможно только при

$$\cos x=1,\qquad |x|+1=1.$$

Отсюда

$$|x|=0,\qquad x=0.$$

Проверка:

$$\cos 0=1,\qquad |0|+1=1.$$

Следовательно,

$$x=0.$$

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}$$; в) $$x=\pi$$; г) $$x=0$$.