Упр.11.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Функция задана по частям:

$$y=\begin{cases} \sin x, & x\le 0,\\ x^2, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\ \cos x, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}$$

1. При $$x\le 0$$ строим график функции $$y=\sin x$$. Точка $$x=0$$ входит в этот промежуток, поэтому отмечаем точку $$\bigl(0,0\bigr)$$ как закрашенную.

2. При $$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$ строим график параболы $$y=x^2$$. На концах промежутка точки не входят в график, поэтому в точках $$\bigl(0,0\bigr)$$ и $$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi^2}{4}\right)$$ ставим пустые кружки.

3. При $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$ строим график функции $$y=\cos x$$. Точка $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ входит в промежуток, а $$\cos \dfrac{\pi}{2}=0$$, значит точка $$\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$$ закрашена.

Итак, график состоит из трёх частей: левой ветви синусоиды, участка параболы и правой ветви косинусоиды.

Свойства функции:

$$D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=\left[-1;\dfrac{\pi^2}{4}\right).$$

Функция возрастает на промежутках

$$\left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;2\pi+2\pi n\right], \qquad n\in\mathbb Z,$$

и убывает на промежутках

$$\left[-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[2\pi+2\pi n;3\pi+2\pi n\right], \qquad n\in\mathbb Z.$$

Нули функции: $$x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ а также $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ если эти точки попадают в соответствующие промежутки задания функции.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, не является периодической, ограничена снизу и сверху.

Ответ: график функции состоит из трёх частей: $$y=\sin x$$ при $$x\le 0$$, $$y=x^2$$ при $$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$, $$y=\cos x$$ при $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty),\; E(f)=\left[-1;\dfrac{\pi^2}{4}\right).$$