Упр.10.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5$$ на промежутке: а) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; б) $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$; в) $$[0;\pi)$$; г) $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5.$$

1. На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ пробегает от $$0$$ до $$\frac{\pi}{2}$$, а функция $$\sin t$$ на этом промежутке возрастает. Значит, и данная функция возрастает.

   Тогда

   $$y_{\min}=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=\sin 0+0{,}5=0{,}5,$$

   $$y_{\max}=\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=\sin\frac{\pi}{2}+0{,}5=1{,}5.$$

2. На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ функция принимает значения

   $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5.$$

   Так как $$\sin t\in[-1;1]$$, то

   $$y\in[-0{,}5;1{,}5].$$

   Значение $$-0{,}5$$ достигается при $$x=\frac{7\pi}{4}$$, а значение $$1{,}5$$ достигается при $$x=\frac{3\pi}{4}$$, но эта точка не входит в промежуток. Поэтому наименьшее значение есть, а наибольшего нет.

   $$y_{\min}=-0{,}5,\qquad y_{\max}\ \text{не существует}.$$

3. На промежутке $$[0;\pi)$$ имеем:

   $$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=-\frac{\sqrt2}{2}+0{,}5=\frac{1-\sqrt2}{2},$$

   $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+0{,}5=1{,}5.$$

   Это и есть наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке.

   $$y_{\min}=\frac{1-\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=1{,}5.$$

4. На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$, поэтому

   $$-0{,}5\le y\le 1{,}5.$$

   Следовательно,

   $$y_{\min}=-0{,}5,\qquad y_{\max}=1{,}5.$$

Ответ: а) $$0{,}5$$ и $$1{,}5$$; б) $$-0{,}5$$, наибольшего значения нет; в) $$\frac{1-\sqrt2}{2}$$ и $$1{,}5$$; г) $$-0{,}5$$ и $$1{,}5$$.