Упр.10.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin x$$:
а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
б) на луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$;
в) на интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$;
г) на полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$.
Функция $$y=\sin x$$ принимает значения только из промежутка $$[-1;1].$$ Поэтому для каждого пункта достаточно проверить, попадают ли в заданный промежуток точки, где синус достигает $$1$$ и $$-1,$$ а также значения на концах промежутка.
а)
На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right].$$
Найдём значения в характерных точках:
$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{2}=1, \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac{\sqrt{2}}{2},$$ а наибольшее — $$1.$$
б)
На луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$y=\sin x$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1,$$ так как на этом промежутке содержится полный период функции.
Значит,
$$y_{\min}=-1, \qquad y_{\max}=1.$$
в)
На интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$ содержатся точки, в которых $$\sin x=-1$$ и $$\sin x=1,$$ а именно $$x=-\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Поэтому
$$y_{\min}=-1, \qquad y_{\max}=1.$$
г)
На полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right].$$
Проверим нужные точки:
$$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-1, \qquad y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \; y_{\max}=1;$$
б) $$y_{\min}=-1, \; y_{\max}=1;$$
в) $$y_{\min}=-1, \; y_{\max}=1;$$
г) $$y_{\min}=-1, \; y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
