Упр.10.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right), & -\frac{3\pi}{2}\leq x<0,\\ x+1, & 0а) Вычислите: $$f(0),\ f(6),\ f(-\pi-2);$$
б) постройте график функции $$y=f(x);$$
в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

Подробный ответ

$$f(x)= \begin{cases} \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right), & -\dfrac{3\pi}{2}\le x\le 0,\\[6pt] x+1, & 0<x<2,\\[6pt] -\sqrt{x-2}+3, & x\ge 2. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции.

При $$x=0$$ используем первую формулу:

$$f(0)=\sin\left(0+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1.$$

При $$x=6$$ подходит третья формула:

$$f(6)=-\sqrt{6-2}+3=-\sqrt{4}+3=-2+3=1.$$

Число $$-\pi-2$$ не принадлежит ни одному из промежутков области определения функции, поэтому

$$f(-\pi-2)\text{ — не существует.}$$

б) Построим график по частям.

1) На отрезке $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};\,0\right]$$ график задаётся функцией

$$y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right).$$

Это участок синусоиды, проходящий через точки

$$\left(-\dfrac{3\pi}{2},0\right),\quad (-\pi,-1),\quad \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right),\quad (0,1).$$

2) На промежутке $$0<x<2$$ имеем прямую

$$y=x+1,$$

которая проходит через точки $$(0,1)$$ и $$(2,3)$$.

3) При $$x\ge 2$$ строим график функции

$$y=-\sqrt{x-2}+3.$$

Это ветвь корневой функции с началом в точке $$(2,3)$$; далее график убывает. Для построения удобно взять точки:

$$(2,3),\quad (3,2),\quad (6,1).$$

в) По графику получаем свойства функции:

$$D(f)=\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right);$$
$$E(f)=(-\infty;3];$$
возрастает на $$[-\pi;2];$$
убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\pi\right]\cup[2;+\infty);$$
$$f(x)>0$$ на $$\left(-\dfrac{\pi}{2};11\right);$$
$$f(x)<0$$ на $$\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right)\cup(11;+\infty);$$
функция ограничена сверху, причём $$y_{\max}=f(2)=3;$$
функция ни чётная, ни нечётная;
не является периодической;
непрерывна на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right).$$