Упр.10.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\leq x\leq\pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi.\end{cases}$$
   а) Вычислите: $$f(-3),\ f\left(\frac{\pi}{2}\right),\ f(2\pi-3);$$
   б) постройте график функции $$y=f(x);$$
   в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

а) Найдём значения функции по заданным промежуткам:

$$f(-3)=-(-3)^2=-9,$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
$$f(2\pi-3)=-\bigl((2\pi-3)-\pi\bigr)^2=-(\pi-3)^2.$$

Ход решения

б) График функции состоит из трёх частей:

• при $$x<0$$ — ветвь параболы $$y=-x^2$$;
• при $$0\le x\le \pi$$ — график функции $$y=\sin x$$;
• при $$x>\pi$$ — ветвь параболы $$y=-(x-\pi)^2$$.

Для построения отметим характерные точки:

Соединяем эти части в один график: слева — парабола, на отрезке $$[0;\pi]$$ — синусоида, справа — снова парабола, с вершиной в точке $$\left(\pi,0\right)$$.

в) По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;1]$$;
• функция возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}]$$;
• убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty)$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)\cup(\pi;+\infty)$$;
• наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=\frac{\pi}{2}$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической;
• функция непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

Ответ

$$f(-3)=-9,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f(2\pi-3)=-(\pi-3)^2.$$