Упр.10.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2x+2\pi, & x\le -\pi,\\ \sin x, & -\pi0.\end{cases}$$

а) Вычислите: $$f(-\pi-2),\ f\left(-\frac{\pi}{6}\right),\ f(2)$$;

б) Постройте график функции $$y=f(x)$$;

в) Прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

$$f(x)= \begin{cases} 2x+2\pi, & x\le -\pi,\\ \sin x, & -\pi<x\le 0,\\ -2x, & x>0. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-\pi-2)=2(-\pi-2)+2\pi=-4;$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12;$$
$$f(2)=-2\cdot 2=-4.$$

б) Построим график по частям.

• При $$x\le -\pi$$ график задаёт прямая $$y=2x+2\pi$$. Для построения удобно взять точки $$(-\pi,0)$$ и $$\left(-\frac{4\pi}{3},-\frac{2\pi}{3}\right)$$.
• При $$-\pi<x\le 0$$ график задаёт участок синусоиды $$y=\sin x$$. Он проходит через точки $$(-\pi,0)$$, $$\left(-\frac{\pi}{2},-1\right)$$, $$(0,0)$$.
• При $$x>0$$ график задаёт прямая $$y=-2x$$. Для построения можно взять точки $$(0,0)$$ и $$(1,-2)$$.

Итоговый график состоит из трёх частей: луча прямой слева, дуги синусоиды на отрезке $$(-\pi,0]$$ и луча прямой справа.

в) По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;0]$$;
• функция возрастает на $$(-\infty;-\pi]$$ и $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$;
• убывает на $$[-\pi;-\frac{\pi}{2}]$$ и $$[0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-\pi)\cup(-\pi;0)\cup(0;+\infty)$$;
• наибольшее значение равно $$0$$, оно достигается при $$x=-\pi$$ и $$x=0$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

Ответ

$$f(-\pi-2)=-4,\quad f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\quad f(2)=-4.$$