Упр.10.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le\pi.\end{cases}$$
   а) Вычислите: $$f(-2),\ f(0),\ f(1)$$;
   б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
   в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi.\end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2},$$

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f(1)=\sin 1.$$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ строим ветвь гиперболы $$y=\dfrac{1}{x}$$. Для неё можно отметить точки:

$$(-2;-\tfrac12),\;(-1;-1),\;(-\tfrac12;-2).$$

При $$0\le x\le \pi$$ строим график функции $$y=\sin x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$. Он проходит через точки:

$$\left(0;0\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2};1\right),\ \left(\pi;0\right).$$

В точке $$x=0$$ функция определена по формуле $$y=\sin x$$, поэтому на графике ставим закрашенную точку $$\left(0;0\right)$$.

в) По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;\pi]$$;
• множество значений: $$E(f)=(-\infty;1]$$;
• функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$;
• функция возрастает на $$\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
• функция ограничена сверху, наибольшее значение равно $$1$$;
• наименьшего значения нет;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не периодическая;
• имеет разрыв в точке $$x=0$$.

Ответ

$$f(-2)=-\dfrac12,\quad f(0)=0,\quad f(1)=\sin 1.$$
$$D(f)=(-\infty;\pi],\quad E(f)=(-\infty;1].$$