Упр.1.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2{,}5x}}$$;
б) $$y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$$;
в) $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$$;
г) $$y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$$.
Найдём область определения каждой функции.
а)
$$y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2,5x}}$$
Для корня нужно:
$$2x-4\ge 0,\qquad 10-2,5x>0$$
Решаем неравенства:
$$x\ge 2,\qquad x<4$$
Пересечение условий:
$$D(y)=[2;4)$$
б)
$$y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$$
Получаем систему условий:
$$\begin{cases} 10x-3x^2-3\ge 0,\\ x^2-4>0,\\ 25-4x^2\ne 0. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$10x-3x^2-3\ge 0 \iff 3x^2-10x+3\le 0$$
$$D=100-36=64,\qquad x_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3$$
$$\frac13\le x\le 3$$
Второе неравенство:
$$x^2-4>0 \iff x<-2 \text{ или } x>2$$
Третье условие:
$$25-4x^2\ne 0 \iff x\ne \pm \frac52$$
Пересечение всех условий:
$$D(y)=(2;\tfrac52)\cup(\tfrac52;3]$$
в)
$$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$$
Требуется:
$$\begin{cases} 2x^2-5x+2\ge 0,\\ 10-2x>0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9,\qquad x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
$$2x^2-5x+2\ge 0 \iff x\le \frac12 \text{ или } x\ge 2$$
Второе неравенство:
$$10-2x>0 \iff x<5$$
Пересечение:
$$D(y)=(-\infty;\tfrac12]\cup[2;5)$$
г)
$$y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$$
Составим систему условий:
$$\begin{cases} x^2-36\ge 0,\\ 11x-x^2-10>0,\\ x^4-2401\ne 0. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$x^2-36\ge 0 \iff |x|\ge 6$$
Второе неравенство:
$$11x-x^2-10>0 \iff x^2-11x+10<0$$
$$x^2-11x+10=(x-1)(x-10)$$
$$1<x<10$$
Третье условие:
$$x^4-2401\ne 0 \iff x^4\ne 7^4 \iff x\ne \pm 7$$
Пересечение всех условий:
$$D(y)=[6;7)\cup(7;10)$$
Ответ:
$$\begin{aligned} &\text{а) } [2;4),\\ &\text{б) } (2;\tfrac52)\cup(\tfrac52;3],\\ &\text{в) } (-\infty;\tfrac12]\cup[2;5),\\ &\text{г) } [6;7)\cup(7;10). \end{aligned}$$
