Упр.1.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения и область значений функции:
   а) $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$;
   б) $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$;
   в) $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$;
   г) $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$.

а) Для функции $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$16x^2-49\ne 0,$$

$$16x^2\ne 49,$$

$$x\ne \pm \frac{7}{4}.$$

Значит,

$$D(y)=\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right)\cup\left(-\frac{7}{4};\frac{7}{4}\right)\cup\left(\frac{7}{4};+\infty\right).$$

Так как $$16x^2-49\ge -49,$$ то при $$x=0$$ получаем наибольшее по модулю отрицательное значение знаменателя, а значит

$$y_{\min}=\frac{1}{-49}=-\frac{1}{49}.$$

При больших $$|x|$$ значение функции стремится к нулю, но нуля не достигает. Поэтому

$$E(y)=\left(-\infty;-\frac{1}{49}\right]\cup(0;+\infty).$$

б) Для функции $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2+4x+3\ge 0,$$

$$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge -1.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty).$$

Так как корень квадратный неотрицателен, а при $$x=-3$$ и $$x=-1$$ подкоренное выражение равно нулю, то

$$E(y)=[0;+\infty).$$

в) Для функции $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$ знаменатель не должен равняться нулю:

$$9-25x^2\ne 0,$$

$$25x^2\ne 9,$$

$$x\ne \pm \frac{3}{5}.$$

Значит,

$$D(y)=\left(-\infty;-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)\cup\left(\frac{3}{5};+\infty\right).$$

При $$x=0$$ получаем

$$y=\frac{1}{9}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)$$ знаменатель положителен, поэтому $$y\ge \frac{1}{9}$$, а вне этого промежутка функция отрицательна и стремится к нулю снизу. Следовательно,

$$E(y)=(-\infty;0)\cup\left[\frac{1}{9};+\infty\right).$$

г) Для функции $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$ требуется

$$3x-x^2+18\ge 0,$$

$$x^2-3x-18\le 0,$$

$$\left(x+3\right)\left(x-6\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-3\le x\le 6,$$

то есть

$$D(y)=[-3;6].$$

Найдём наибольшее значение подкоренного выражения. Это вершина параболы $$-x^2+3x+18$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$y_{\max}=\sqrt{3\cdot \frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2+18}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}.$$

Следовательно,

$$E(y)=\left[0;\frac{9}{2}\right].$$

Ответ: а) $$D(y)=\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right)\cup\left(-\frac{7}{4};\frac{7}{4}\right)\cup\left(\frac{7}{4};+\infty\right),$$ $$E(y)=\left(-\infty;-\frac{1}{49}\right]\cup(0;+\infty);$$ б) $$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty),$$ $$E(y)=[0;+\infty);$$ в) $$D(y)=\left(-\infty;-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)\cup\left(\frac{3}{5};+\infty\right),$$ $$E(y)=(-\infty;0)\cup\left[\frac{1}{9};+\infty\right);$$ г) $$D(y)=[-3;6],$$ $$E(y)=\left[0;\frac{9}{2}\right].$$