Ответы на вопросы Параграф 7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических неравенств?

При решении логарифмических неравенств используют теорему о сравнении логарифмов:

если $$a>1,$$ то неравенство $$\log_a x_1>\log_a x_2$$ равносильно неравенству $$x_1>x_2>0;$$
если $$0<a<1,$$ то неравенство $$\log_a x_1>\log_a x_2$$ равносильно неравенству $$0<x_1<x_2.$$

Из неё следует правило для неравенства с логарифмами функций:

если $$a>1,$$ то $$\log_a f(x)>\log_a g(x)$$ равносильно системе
$$ \begin{cases} f(x)>g(x),\\ g(x)>0; \end{cases} $$
если $$0<a<1,$$ то оно равносильно системе
$$ \begin{cases} f(x)<g(x),\\ f(x)>0. \end{cases} $$

Ответ

Применяют теорему о сравнении логарифмов и следствие из неё: при $$a>1$$ логарифмическое неравенство равносильно сравнению аргументов при условии их положительности, а при $$0<a<1$$ знак неравенства между аргументами меняется.