Упр.9.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Для функции $$f$$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

• 1) $$f(x)=x^2$$, $$A(-1; 3)$$;
• 3) $$f(x)=e^x$$, $$C(0; -6)$$.
• 2) $$f(x)=\sin(x)$$, $$F(?; -1)$$;

1. Для функции $$f(x)=x^2$$ найдём первообразную:

   $$F(x)=\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$A(-1;3)$$, подставим её координаты:

   $$F(-1)=\frac{(-1)^3}{3}+C=3,$$

   $$-\frac13+C=3,$$

   $$C=\frac{10}{3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{10}{3}.$$

2. Для функции $$f(x)=\sin x$$ найдём первообразную:

   $$F(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$

   График проходит через точку $$B(\pi;-1)$$, значит:

   $$F(\pi)=-\cos \pi + C=-1,$$

   $$1+C=-1,$$

   $$C=-2.$$

   Тогда

   $$F(x)=-\cos x-2.$$

3. Для функции $$f(x)=e^x$$ найдём первообразную:

   $$F(x)=\int e^x\,dx=e^x+C.$$

   Так как график проходит через точку $$C(0;-6)$$, имеем:

   $$F(0)=e^0+C=-6,$$

   $$1+C=-6,$$

   $$C=-7.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=e^x-7.$$

Ответ

1) $$y=\frac{x^3}{3}+\frac{10}{3}$$; 2) $$y=-\cos x-2$$; 3) $$y=e^x-7$$.