Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Проверьте, что функция $$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}$$ является первообразной функции $$f(x)=\frac{5}{(3x-1)^2}$$ на каждом из промежутков $$(-?;\tfrac{1}{3})$$ и $$(\tfrac{1}{3};+?)$$, и запишите общий вид первообразных функции $$f$$ на каждом из указанных промежутков.

Найдём производную функции $$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}$$ по правилу производной частного:

$$F'(x)=\frac{(3x-1)\cdot 1-(x-2)\cdot 3}{(3x-1)^2}$$
$$F'(x)=\frac{3x-1-3x+6}{(3x-1)^2} =\frac{5}{(3x-1)^2}$$

Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)=\frac{5}{(3x-1)^2}$$ на каждом из промежутков, где она определена:

$$(-\infty;\tfrac13)\quad \text{и}\quad (\tfrac13;+\infty).$$

Общий вид первообразных на каждом из этих промежутков:

$$\frac{x-2}{3x-1}+C,\quad C\in\mathbb{R}.$$

Ответ

$$F(x)=\frac{x-2}{3x-1}+C,\quad C\in\mathbb{R},$$
на промежутках $$(-\infty;\tfrac13)$$ и $$(\tfrac13;+\infty).$$