Упр.9.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Проверьте, что: 1) $$\int x\cos(x)\,dx=\cos(x)+x\sin(x)+C$$; 2) $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\sqrt{x^2+4}+C$$, где $$C$$ — произвольное число.

1. Проверим, что

   $$\int x\cos x\,dx=\cos x+x\sin x+C.$$

   Возьмём

   $$F(x)=\cos x+x\sin x+C.$$

   Тогда

   $$F'(x)=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x.$$

   Следовательно, равенство верно.

2. Проверим, что

   $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\sqrt{x^2+4}+C.$$

   Пусть

   $$F(x)=\sqrt{x^2+4}+C.$$

   Тогда

   $$F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+4}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.$$

   Значит, равенство также верно.

Ответ

1) да; 2) да.