Упр.9.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите общий вид первообразных функции:
   1) $$f(x)=0$$;
   2) $$f(x)=x^8$$;
   3) $$f(x)=\frac{1}{3^x}$$;
   4) $$f(x)=\frac{1}{x^{20}}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
   5) $$f(x)=x^{1/7}$$ на промежутке $$(4;+\infty)$$;
   6) $$f(x)=x^{1/4}$$ на промежутке $$[0{,}5;+\infty)$$.

1. Если $$f(x)=0,$$ то любая постоянная функция является первообразной:

   $$F(x)=C.$$

2. Для $$f(x)=x^8$$ применяем формулу $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ при $$n\ne -1$$:

   $$F(x)=\frac{x^9}{9}+C.$$

3. Так как $$\dfrac{1}{3^x}=3^{-x},$$ то

   $$\int 3^{-x}\,dx=\frac{3^{-x}}{-\ln 3}+C=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C.$$

4. Для $$f(x)=\dfrac{1}{x^{20}}=x^{-20}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ имеем:

   $$F(x)=\frac{x^{-19}}{-19}+C=-\frac{1}{19x^{19}}+C.$$

5. Если $$f(x)=x^{1/7},$$ то

   $$F(x)=\frac{x^{8/7}}{8/7}+C=\frac{7}{8}x^{8/7}+C=\frac{7}{8}\sqrt[7]{x^8}+C.$$

6. Если $$f(x)=x^{1/4},$$ то

   $$F(x)=\frac{x^{5/4}}{5/4}+C=\frac{4}{5}x^{5/4}+C=\frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=C$$;
2) $$F(x)=\frac{x^9}{9}+C$$;
3) $$F(x)=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C$$;
4) $$F(x)=-\frac{1}{19x^{19}}+C$$;
5) $$F(x)=\frac{7}{8}x^{8/7}+C$$;
6) $$F(x)=\frac{4}{5}x^{5/4}+C$$.