Упр.9.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите общий вид первообразных функции:

1. $$f(x)=0$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{x^{20}}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
3. $$f(x)=x^8$$;
4. $$f(x)=x^{\frac{1}{7}}$$ на промежутке $$(4;+\infty)$$;
5. $$f(x)=\frac{1}{3^x}$$;
6. $$f(x)=x^{\frac{1}{4}}$$ на промежутке $$[0,5;+\infty)$$.

1. Если $$f(x)=0,$$ то любая постоянная функция является первообразной:

   $$F(x)=C.$$

2. Для $$f(x)=x^8$$ используем формулу $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ при $$n\ne -1$$:

   $$F(x)=\frac{x^9}{9}+C.$$

3. Так как $$\frac{1}{3^x}=3^{-x},$$ то

   $$\int 3^{-x}\,dx=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C.$$

4. Для $$f(x)=\frac{1}{x^{20}}=x^{-20}$$ на промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$:

   $$F(x)=\int x^{-20}\,dx=\frac{x^{-19}}{-19}+C=-\frac{1}{19x^{19}}+C.$$

5. Для $$f(x)=x^{1/7}$$ на промежутке $$\left(4;+\infty\right)$$:

   $$F(x)=\int x^{1/7}\,dx=\frac{x^{8/7}}{8/7}+C=\frac{7}{8}x^{8/7}+C.$$

6. Для $$f(x)=x^{1/4}$$ на промежутке $$\left[0{,}5;+\infty\right)$$:

   $$F(x)=\int x^{1/4}\,dx=\frac{x^{5/4}}{5/4}+C=\frac{4}{5}x^{5/4}+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=C$$;
2) $$F(x)=\frac{x^9}{9}+C$$;
3) $$F(x)=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C$$;
4) $$F(x)=-\frac{1}{19x^{19}}+C$$;
5) $$F(x)=\frac{7}{8}x^{8/7}+C$$;
6) $$F(x)=\frac{4}{5}x^{5/4}+C$$.