Упр.9.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите общий вид первообразных функции: 1) $$f(x)=5$$; 5) $$f(x)=\frac{1}{x^7}$$ на промежутке $$(-\infty;0)$$; 2) $$f(x)=x$$; 6) $$f(x)=\sqrt{x}$$ на промежутке $$[1;+\infty)$$; 3) $$f(x)=x^6$$; 7) $$f(x)=x^{\frac{1}{5}}$$ на промежутке $$(-\infty;-3)$$; 4) $$f(x)=2^x$$; 8) $$f(x)=x^{-5}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$.

1. $$f(x)=5$$

   Тогда первообразная:

   $$F(x)=5x+C.$$

2. $$f(x)=x$$

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$

3. $$f(x)=x^6$$

   $$F(x)=\frac{x^7}{7}+C.$$

4. $$f(x)=2^x$$

   Используем формулу $$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ при $$a>0,\ a\ne 1$$:

   $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C.$$

5. $$f(x)=\frac{1}{x^7}=x^{-7}, \quad (-\infty;0)$$

   $$F(x)=\frac{x^{-6}}{-6}+C=-\frac{1}{6x^6}+C.$$

6. $$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, \quad [1;+\infty)$$

   $$F(x)=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C.$$

7. $$f(x)=x^{1/5}, \quad (-\infty;-3)$$

   $$F(x)=\frac{x^{6/5}}{6/5}+C=\frac{5}{6}x^{6/5}+C=\frac{5}{6}\sqrt[5]{x^6}+C.$$

8. $$f(x)=x^{-5}, \quad (0;+\infty)$$

   $$F(x)=\frac{x^{-4}}{-4}+C=-\frac{1}{4x^4}+C.$$

Ответ

1. $$F(x)=5x+C$$
2. $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C$$
3. $$F(x)=\frac{x^7}{7}+C$$
4. $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$$
5. $$F(x)=-\frac{1}{6x^6}+C$$
6. $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$$
7. $$F(x)=\frac{5}{6}x^{6/5}+C$$
8. $$F(x)=-\frac{1}{4x^4}+C$$