Упр.9.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Является ли функция $$F(x)=\frac{1}{x^2}$$ первообразной функции $$f(x)=-\frac{2}{x^3}$$ на промежутке: 1) $$(0;+\infty)$$; 2) $$(-2;2)$$; 3) $$(-\infty;0]$$; 4) $$(-6;0)$$?

Найдём производную функции $$F(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}.$$

Тогда

$$F'(x)=(x^{-2})’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

Значит, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)=-\frac{2}{x^3}$$ на тех промежутках, где она определена, то есть при $$x\ne 0$$.

Область определения: $$D(F)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

1. $$(0;+\infty)$$ — функция определена и $$F'(x)=f(x)$$, значит, да.

2. $$(-2;2)$$ содержит точку $$x=0$$, где $$F(x)$$ не определена, значит, нет.

3. $$(-\infty;0]$$ содержит точку $$x=0$$, где $$F(x)$$ не определена, значит, нет.

4. $$(-6;0)$$ целиком лежит в области определения, значит, да.

Ответ

1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да.