Упр.9.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

• 1) $$f(x)=x^3$$, $$M(1;\frac{5}{4})$$;
• 3) $$f(x)=3^x$$, $$K(2;\frac{9}{\ln 3})$$.
• 2) $$f(x)=\cos(x)$$, $$N(?/6;\frac{5}{2})$$.

1. Для функции $$f(x)=x^3$$ найдём первообразную:

   $$F(x)=\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$M\left(1;\frac54\right),$$ то

   $$F(1)=\frac14+C=\frac54.$$

   Отсюда

   $$C=1.$$

   Следовательно,

   $$y=\frac{x^4}{4}+1.$$

2. Для функции $$f(x)=\cos x$$ имеем:

   $$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

   Так как график проходит через точку $$N\left(\frac{\pi}{6};\frac52\right),$$ то

   $$F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac52.$$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

   $$\frac12+C=\frac52,\qquad C=2.$$

   Следовательно,

   $$y=\sin x+2.$$

3. Для функции $$f(x)=3^x$$ найдём первообразную:

   $$F(x)=\int 3^x\,dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$K\left(2;\frac{9}{\ln 3}\right),$$ то

   $$F(2)=\frac{3^2}{\ln 3}+C=\frac{9}{\ln 3}.$$

   Отсюда

   $$C=0.$$

   Следовательно,

   $$y=\frac{3^x}{\ln 3}.$$

Ответ

1) $$y=\frac{x^4}{4}+1$$; 2) $$y=\sin x+2$$; 3) $$y=\frac{3^x}{\ln 3}$$.