Упр.9.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Определённая на $$\mathbb{R}$$ чётная функция $$f$$ имеет первообразную. Докажите, что среди первообразных функции $$f$$ есть нечётная функция.

Пусть $$F(x)$$ — одна из первообразных функции $$f(x)$$, то есть

$$F'(x)=f(x).$$

Рассмотрим функцию $$G(x)=F(-x).$$ Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

$$G'(x)=F'(-x)\cdot(-1)=-F'(-x).$$

Так как $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Следовательно,

$$G'(x)=-F'(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F'(x).$$

Значит, функция $$F(-x)+F(x)$$ имеет производную, равную нулю:

$$\bigl(F(-x)+F(x)\bigr)’=-F'(-x)+F'(x)=-f(-x)+f(x)=0.$$

Отсюда

$$F(-x)+F(x)=C,$$

где $$C$$ — постоянная.

Теперь рассмотрим функцию

$$\Phi(x)=F(x)-\frac{C}{2}.$$

Она тоже является первообразной функции $$f(x)$$, так как при вычитании константы производная не меняется. Для неё

$$\Phi(-x)=F(-x)-\frac{C}{2}=C-F(x)-\frac{C}{2}=-\left(F(x)-\frac{C}{2}\right)=-\Phi(x).$$

Значит, среди первообразных функции $$f(x)$$ есть нечётная функция.

Ответ

Существует первообразная $$\Phi(x)=F(x)-\dfrac{C}{2}$$, для которой $$\Phi(-x)=-\Phi(x)$$, то есть она нечётная.