Упр.9.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$F$$ является первообразной функции $$f$$ на промежутке $$I$$:
   1) $$F(x)=x^4-2x^2+6$$, $$f(x)=4x^3-4x$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$;
   2) $$F(x)=\frac{1}{x^3}$$, $$f(x)=-\frac{3}{x^4}$$, $$I=(-\infty;0)$$;
   3) $$F(x)=5-3\sqrt{x}$$, $$f(x)=-\frac{3}{2\sqrt{x}}$$, $$I=(0;+\infty)$$;
   4) $$F(x)=3\operatorname{tg}\frac{x}{3}+6$$, $$f(x)=\frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}$$, $$I=\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)$$.

1. Найдём производную функции $$F(x)=x^4-2x^2+6$$:

   $$F'(x)=4x^3-4x.$$

   Так как $$F'(x)=f(x)$$, то $$F$$ является первообразной функции $$f$$ на $$I=(-\infty;+\infty)$$.

2. Для $$F(x)=\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$$ имеем:

   $$F'(x)=(x^{-3})’=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$ на промежутке $$I=(-\infty;0)$$.

3. Для $$F(x)=5-3\sqrt{x}$$ найдём производную:

   $$F'(x)=0-3\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=-\dfrac{3}{2\sqrt{x}}.$$

   Значит, $$F'(x)=f(x)$$ на промежутке $$I=(0;+\infty)$$.

4. Для $$F(x)=3\tg\left(\dfrac{x}{3}\right)+6$$:

   $$F'(x)=3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{\cos^2\left(\dfrac{x}{3}\right)}=\dfrac{1}{\cos^2\left(\dfrac{x}{3}\right)}.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$ на промежутке $$I=\left(-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)$$.

Ответ

Во всех четырёх пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F$$ является первообразной функции $$f$$ на указанном промежутке.