Упр.9.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Определённая на $$\mathbb{R}$$ нечётная функция имеет первообразную. Докажите, что эта первообразная является чётной функцией.

Пусть $$f(x)$$ — нечётная функция, определённая на $$\mathbb{R}$$, и $$F(x)$$ — её первообразная, то есть

$$F'(x)=f(x).$$

Рассмотрим функцию $$F(-x)$$. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

$$\bigl(F(-x)\bigr)’=-F'(-x).$$

Так как $$f(x)$$ — нечётная, то

$$f(-x)=-f(x).$$

Следовательно,

$$F'(-x)=f(-x)=-f(x),$$

а значит

$$\bigl(F(-x)\bigr)’=-F'(-x)=f(x)=F'(x).$$

Получаем, что производные функций $$F(x)$$ и $$F(-x)$$ совпадают. Тогда их разность — постоянная:

$$F(-x)-F(x)=C.$$

Подставим $$x=0$$:

$$F(0)-F(0)=C,$$

откуда $$C=0$$. Значит,

$$F(-x)=F(x).$$

Следовательно, первообразная $$F(x)$$ является чётной функцией.

Ответ

Первообразная нечётной функции на $$\mathbb{R}$$ является чётной.