Упр.9.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функции $$F_1(x)=\sin^2(x)$$ и $$F_2(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)$$ являются первообразными функции $$f(x)=\sin(2x)$$. При каком значении $$C$$ верно равенство $$F_2(x)=F_1(x)+C$$?

Найдём производные данных функций:

$$F_1′(x)=(\sin^2 x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x,$$

$$F_2′(x)=\left(-\frac12\cos 2x\right)’=-\frac12\cdot(-2\sin 2x)=\sin 2x.$$

Значит, обе функции являются первообразными функции $$f(x)=\sin 2x.$$

Так как любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную, то

$$F_2(x)=F_1(x)+C.$$

Найдём $$C$$, подставив, например, $$x=0$$:

$$F_1(0)=\sin^2 0=0,$$

$$F_2(0)=-\frac12\cos 0=-\frac12.$$

Тогда

$$-\frac12=0+C,$$

$$C=-\frac12.$$

Ответ

$$C=-\frac12.$$