Упр.9.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 9.16. Докажите, что функции F_1(x)=sin^2(x) и F_2(x)=(-1/2)cos(2x) являются первообразными функции f(x)=sin(2x). При каком значении C верно равенство F_2(x)=F_1(x)+C?

Найдём производные данных функций.

$$F_1(x)=\sin^2 x$$
$$F_1′(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$$

$$F_2(x)=-\frac12\cos(2x)$$
$$F_2′(x)=-\frac12\cdot(-2\sin 2x)=\sin 2x$$

Значит, обе функции являются первообразными функции $$f(x)=\sin 2x$$.

Теперь найдём $$C$$ из равенства $$F_2(x)=F_1(x)+C$$. Подставим, например, $$x=0$$:

$$F_1(0)=\sin^2 0=0,$$
$$F_2(0)=-\frac12\cos 0=-\frac12.$$

Тогда

$$C=F_2(0)-F_1(0)=-\frac12-0=-\frac12.$$

Ответ

$$C=-\frac12$$