Упр.9.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функции $$F_1(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)$$ и $$F_2(x)=-\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ являются первообразными функции $$f(x)=\cos(2x)$$. При каком значении $$C$$ верно равенство $$F_1(x)=F_2(x)+C$$?

Найдём производные данных функций.

$$F_1(x)=\frac12\sin 2x$$
$$F_1′(x)=\frac12\cdot 2\cos 2x=\cos 2x=f(x)$$

$$F_2(x)=-\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$F_2′(x)=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$F_2′(x)=-\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2x=f(x)$$

Значит, обе функции являются первообразными функции $$f(x)=\cos 2x$$.

Так как любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную, то

$$F_1(x)=F_2(x)+C$$

Найдём $$C$$, подставив $$x=0$$:

$$F_1(0)=\frac12\sin 0=0$$
$$F_2(0)=-\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=-\frac12$$

$$0=-\frac12+C$$
$$C=\frac12$$

Ответ

$$C=\frac12$$