Упр.9.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функции $$F_1(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)$$ и $$F_2(x)=-\sin^2\left(x-\frac{?}{4}\right)$$ являются первообразными функции $$f(x)=\cos(2x)$$. При каком значении $$C$$ верно равенство $$F_1(x)=F_2(x)+C$$?

Найдём производные данных функций.

$$F_1(x)=\frac12\sin 2x$$
$$F_1′(x)=\frac12\cdot 2\cos 2x=\cos 2x.$$

$$F_2(x)=-\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

$$F_2(x)=-\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2} =\frac{\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)-1}{2}.$$

Так как $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2x,$$ то

$$F_2(x)=\frac12\sin 2x-\frac12.$$

Тогда

$$F_2′(x)=\frac12\cdot 2\cos 2x=\cos 2x.$$

Следовательно, обе функции являются первообразными функции $$f(x)=\cos 2x.$$

Найдём число $$C$$ из равенства $$F_1(x)=F_2(x)+C$$:

$$\frac12\sin 2x=\left(\frac12\sin 2x-\frac12\right)+C,$$
$$C=\frac12.$$

Ответ

$$C=\frac12.$$