Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Для функции $$f(x)=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$$ найдите какие-нибудь две первообразные, расстояние между соответствующими точками которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно $$2$$.

Подробный ответ

Используем формулу разности квадратов тригонометрических функций:

$$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=-\cos x.$$

Тогда первообразная для функции $$f(x)$$ имеет вид

$$F(x)=\int -\cos x\,dx=-\sin x+C.$$

Пусть две первообразные имеют вид

$$F_1(x)=-\sin x+C_1,\qquad F_2(x)=-\sin x+C_2.$$

Расстояние между соответствующими точками графиков при одинаковых абсциссах равно 2, значит разность значений функций постоянна и равна 2:

$$F_1(x)-F_2(x)=C_1-C_2=2.$$

Возьмём, например, $$C_2=1$$, тогда $$C_1=3$$.