Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$$ найдите какие-нибудь две первообразные, расстояние между соответствующими точками которых (то есть точками с равными абсциссами) равно 2.

Преобразуем функцию:

$$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=-\cos x.$$

Тогда первообразная для этой функции имеет вид:

$$F(x)=\int -\cos x\,dx=-\sin x+C.$$

Возьмём две первообразные:

$$F_1(x)=-\sin x+C_1,\qquad F_2(x)=-\sin x+C_2.$$

Точки этих графиков с одинаковыми абсциссами отличаются только по ординате, поэтому расстояние между ними равно

$$|F_1(x)-F_2(x)|=|C_1-C_2|.$$

По условию это расстояние равно $$2$$, значит

$$|C_1-C_2|=2.$$

Можно, например, взять $$C_1=4$$ и $$C_2=6$$.

Тогда искомые первообразные:

$$y=-\sin x+4,\qquad y=-\sin x+6.$$

Ответ

$$y=-\sin x+4;\quad y=-\sin x+6.$$