Упр.9.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Для функции найдите на промежутке $$I$$ первообразную $$F$$, которая принимает данное значение в указанной точке:
   1) $$f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}$$, $$I=(0;\pi)$$, $$F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$$;
   2) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$, $$I=(0;+\infty)$$, $$F(16)=10$$;
   3) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$I=(0;+\infty)$$, $$F\left(\frac{1}{e}\right)=-2$$;
   4) $$f(x)=2^x$$, $$I=(-\infty;+\infty)$$, $$F(5)=1$$.

1. $$f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}, \quad I=(0;\pi), \quad F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=-\ctg x+C.$$

   Подставим точку $$x=\frac{\pi}{4}$$:

   $$-\ctg\frac{\pi}{4}+C=0,$$

   $$-1+C=0,$$

   $$C=1.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\ctg x+1.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad I=(0;+\infty), \quad F(16)=10.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C.$$

   Подставим $$x=16$$:

   $$2\sqrt{16}+C=10,$$

   $$8+C=10,$$

   $$C=2.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=2\sqrt{x}+2.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad I=(0;+\infty), \quad F\left(\frac{1}{e}\right)=-2.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\ln x+C.$$

   Подставим $$x=\frac{1}{e}$$:

   $$\ln\frac{1}{e}+C=-2,$$

   $$-1+C=-2,$$

   $$C=-1.$$

   Тогда

   $$F(x)=\ln x-1.$$

4. $$f(x)=2^x, \quad I=(-\infty;+\infty), \quad F(5)=1.$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C.$$

   Подставим $$x=5$$:

   $$\frac{2^5}{\ln 2}+C=1,$$

   $$\frac{32}{\ln 2}+C=1,$$

   $$C=1-\frac{32}{\ln 2}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+1-\frac{32}{\ln 2}=\frac{2^x+\ln 2-32}{\ln 2}.$$

Ответ

1) $$F(x)=-\ctg x+1$$; 2) $$F(x)=2\sqrt{x}+2$$; 3) $$F(x)=\ln x-1$$; 4) $$F(x)=\frac{2^x+\ln 2-32}{\ln 2}$$.