Упр.9.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Для функции $$f$$ найдите на промежутке $$I$$ первообразную $$F$$, которая принимает данное значение в указанной точке:

1. $$f(x)=\frac{1}{\sin^2 x},\ I=(0; ?),\ F(?/4)=0$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\ I=(0; +?),\ F(16)=10$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{x},\ I=(0; +?),\ F(1/e)=-2$$;
4. $$f(x)=2^x,\ I=(-?; +?),\ F(5)=1$$.

1. $$f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}, \quad I=(0;\pi), \quad F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C.$$

   Найдём $$C$$:

   $$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\ctg \frac{\pi}{4}+C=-1+C=0,$$

   $$C=1.$$

   Следовательно, $$F(x)=-\ctg x+1.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad I=(0;+\infty), \quad F(16)=10.$$

   $$F(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C.$$

   Найдём $$C$$:

   $$F(16)=2\sqrt{16}+C=8+C=10,$$

   $$C=2.$$

   Следовательно, $$F(x)=2\sqrt{x}+2.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad I=(0;+\infty), \quad F\!\left(\frac{1}{e}\right)=-2.$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x+C.$$

   Найдём $$C$$:

   $$F\!\left(\frac{1}{e}\right)=\ln \frac{1}{e}+C=-1+C=-2,$$

   $$C=-1.$$

   Следовательно, $$F(x)=\ln x-1.$$

4. $$f(x)=2^x, \quad I=(-\infty;+\infty), \quad F(5)=1.$$

   $$F(x)=\int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C.$$

   Найдём $$C$$:

   $$F(5)=\frac{2^5}{\ln 2}+C=1,$$

   $$\frac{32}{\ln 2}+C=1,$$

   $$C=1-\frac{32}{\ln 2}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+1-\frac{32}{\ln 2}.$$

Ответ

1) $$F(x)=-\ctg x+1$$; 2) $$F(x)=2\sqrt{x}+2$$; 3) $$F(x)=\ln x-1$$; 4) $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+1-\frac{32}{\ln 2}.$$