Упр.9.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$f$$ найдите на промежутке $$I$$ первообразную $$F$$, которая принимает данное значение в указанной точке:
   1) $$f(x)=\frac{1}{x^2},\ I=(0;+\infty),\ F\left(\frac{1}{3}\right)=-9$$;
   2) $$f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)},\ I=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),\ F\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\sqrt{3}$$;
   3) $$f(x)=\frac{1}{x},\ I=(-\infty;0),\ F(-e^3)=7$$;
   4) $$f(x)=\frac{1}{x^4},\ I=(-\infty;0),\ F\left(-\frac{1}{2}\right)=3$$.

1. $$f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad I=(0;+\infty), \quad F\!\left(\frac13\right)=-9.$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.$$

   Подставим точку $$x=\frac13$$:

   $$-\frac{1}{1/3}+C=-9$$

   $$-3+C=-9,$$

   $$C=-6.$$

   Значит,

   $$F(x)=-\frac{1}{x}-6.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}, \quad I=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \quad F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\sqrt{3}.$$

   Так как

   $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x + C,$$

   то

   $$F(x)=\tg x + C.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$\tg\frac{\pi}{3}+C=3\sqrt{3}$$

   $$\sqrt{3}+C=3\sqrt{3},$$

   $$C=2\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\tg x+2\sqrt{3}.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x}, \quad I=(-\infty;0), \quad F(-e^3)=7.$$

   На промежутке $$(-\infty;0)$$ имеем

   $$F(x)=\ln|x|+C=\ln(-x)+C.$$

   Подставим $$x=-e^3$$:

   $$\ln(e^3)+C=7$$

   $$3+C=7,$$

   $$C=4.$$

   Значит,

   $$F(x)=\ln(-x)+4.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{x^4}, \quad I=(-\infty;0), \quad F\!\left(-\frac12\right)=3.$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3x^3}+C.$$

   Подставим $$x=-\frac12$$:

   $$-\frac{1}{3\left(-\frac12\right)^3}+C=3$$

   $$-\frac{1}{3\cdot\left(-\frac18\right)}+C=3$$

   $$\frac{8}{3}+C=3,$$

   $$C=\frac13.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}+\frac13.$$

Ответ

1) $$F(x)=-\frac{1}{x}-6$$; 2) $$F(x)=\tg x+2\sqrt{3}$$; 3) $$F(x)=\ln(-x)+4$$; 4) $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}+\frac13$$.