Упр.9.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=1/x^2, I=(0; +?), F(1/3)=-9;
2) f(x)=1/cos^2(x), I=(-?/2; ?/2), F(?/3)=3v3;
3) f(x)=1/x, I=(-?; 0), F(-e^3)=7;
4) f(x)=1/x^4, I=(-?; 0), F(-1/2)=3.

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{1}{x^2}, \quad I=(0;+\infty), \quad F\!\left(\frac13\right)=-9.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.$$
Используем условие:
$$F\!\left(\frac13\right)=-3+C=-9,$$
откуда $$C=-6.$$
Значит, $$F(x)=-\frac{1}{x}-6.$$
$$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}, \quad I=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \quad F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=3\sqrt3.$$
Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x,$$ то
$$F(x)=\tan x+C.$$
Подставим точку:
$$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}+C=\sqrt3+C=3\sqrt3,$$
следовательно, $$C=2\sqrt3.$$
Итак, $$F(x)=\tan x+2\sqrt3.$$
$$f(x)=\frac{1}{x}, \quad I=(-\infty;0), \quad F(-e^3)=7.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ имеем
$$F(x)=\ln|x|+C=\ln(-x)+C.$$
Подставим значение:
$$F(-e^3)=\ln(e^3)+C=3+C=7,$$
откуда $$C=4.$$
Следовательно, $$F(x)=\ln(-x)+4.$$
$$f(x)=\frac{1}{x^4}, \quad I=(-\infty;0), \quad F\!\left(-\frac12\right)=3.$$
Найдём первообразную:
$$F(x)=\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^3}+C.$$
Используем условие:
$$F\!\left(-\frac12\right)=-\frac{1}{3\left(-\frac12\right)^3}+C=3,$$
$$-\frac{1}{3\cdot\left(-\frac18\right)}+C=3,$$
$$\frac{8}{3}+C=3,$$
откуда $$C=\frac13.$$
Значит, $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}+\frac13.$$