Упр.8.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение производной функции $$f$$ в точке $$x_0$$:

1. $$f(x)=\frac{1}{6}\ln(-12x),\quad x_0=-\frac{1}{6}$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\ln x^2,\quad x_0=4$$;
3. $$f(x)=\log_5(x^2+3x-2),\quad x_0=-4$$;
4. $$f(x)=\ln\sin\left(\frac{x}{2}\right),\quad x_0=?/2$$.

1. $$f(x)=\frac16\ln(-12x), \quad x_0=-\frac16.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac16\cdot\frac{-12}{-12x}=\frac{1}{6x}.$$

   Тогда

   $$f’\left(-\frac16\right)=\frac{1}{6\cdot\left(-\frac16\right)}=-1.$$

2. $$f(x)=\frac12x^2-\ln x^2, \quad x_0=4.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac12\cdot 2x-\frac{2x}{x^2}=x-\frac{2}{x}.$$

   Тогда

   $$f'(4)=4-\frac24=4-\frac12=\frac72.$$

3. $$f(x)=\log_5(x^2+3x-2), \quad x_0=-4.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{2x+3}{(x^2+3x-2)\ln 5}.$$

   Тогда

   $$f'(-4)=\frac{2\cdot(-4)+3}{(16-12-2)\ln 5}=\frac{-5}{2\ln 5}.$$

4. $$f(x)=\ln\sin\frac{x}{2}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{\sin\frac{x}{2}}\cdot \cos\frac{x}{2}\cdot \frac12=\frac12\ctg\frac{x}{2}.$$

   Тогда

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac12\ctg\frac{\pi}{4}=\frac12.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$\frac72$$; 3) $$-\frac{5}{2\ln 5}$$; 4) $$\frac12$$.