Упр.8.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение производной функции $$f$$ в точке $$x_0$$:

1. $$f(x)=e^{3x}-3x,\quad x_0=0$$;
2. $$f(x)=e^{-2x}\cos(2x),\quad x_0=0$$;
3. $$f(x)=3^{3x-4x^2+2},\quad x_0=1$$.

1. $$f(x)=e^{3x}-3x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3e^{3x}-3$$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$f'(0)=3e^0-3=3-3=0$$

2. $$f(x)=e^{-2x}\cos 2x$$

   Используем правило производной произведения:

   $$f'(x)=(-2e^{-2x})\cos 2x+e^{-2x}(-2\sin 2x)$$

   $$f'(x)=-2e^{-2x}\cos 2x-2e^{-2x}\sin 2x$$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$f'(0)=-2e^0\cos 0-2e^0\sin 0=-2\cdot 1\cdot 1-2\cdot 1\cdot 0=-2$$

3. $$f(x)=3^{3x-4x^2+2}$$

   По формуле производной показательной функции:

   $$f'(x)=\left(3-8x\right)3^{3x-4x^2+2}\ln 3$$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$f'(1)=(3-8)\cdot 3^{3-4+2}\ln 3=-5\cdot 3\ln 3=-15\ln 3$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$-2$$; 3) $$-15\ln 3$$.