Упр.8.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение производной функции $$f$$ в точке $$x_0$$:
   
   1) $$f(x)=\ln(6x-5),\quad x_0=3$$;
   
   2) $$f(x)=8\ln\left(\frac{x}{2}\right),\quad x_0=\frac{1}{2}$$;
   
   3) $$f(x)=\lg(x^2-5x+8),\quad x_0=2$$;
   
   4) $$f(x)=\ln\cos\left(\frac{x}{3}\right),\quad x_0=\frac{?}{2}$$.

1. $$f(x)=\ln(6x-5)$$

   По формуле $$\left(\ln u\right)’=\frac{u’}{u}$$ получаем:

   $$f'(x)=\frac{6}{6x-5}$$

   Тогда

   $$f'(3)=\frac{6}{6\cdot 3-5}=\frac{6}{18-5}=\frac{6}{13}$$

2. $$f(x)=8\ln\frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$f'(x)=8\cdot \frac{\left(\frac{x}{2}\right)’}{\frac{x}{2}}=8\cdot \frac{\frac12}{\frac{x}{2}}=\frac{8}{x}$$

   Следовательно,

   $$f’\left(\frac12\right)=\frac{8}{\frac12}=16$$

3. $$f(x)=\lg(x^2-5x+8)$$

   Используем формулу $$\left(\lg u\right)’=\frac{u’}{u\ln 10}$$:

   $$f'(x)=\frac{2x-5}{(x^2-5x+8)\ln 10}$$

   Подставим $$x=2$$:

   $$f'(2)=\frac{2\cdot 2-5}{(2^2-5\cdot 2+8)\ln 10}=\frac{-1}{(4-10+8)\ln 10}=-\frac{1}{2\ln 10}$$

4. $$f(x)=\ln\cos\frac{x}{3}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos\frac{x}{3}}\cdot\left(-\sin\frac{x}{3}\right)\cdot \frac13=-\frac13\tg\frac{x}{3}$$

   При $$x_0=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac13\tg\frac{\pi}{6}=-\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{3}=-\frac{\sqrt3}{9}$$

Ответ

1) $$\frac{6}{13}$$; 2) $$16$$; 3) $$-\frac{1}{2\ln 10}$$; 4) $$-\frac{\sqrt3}{9}$$.