Упр.8.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$f(x)=\ln(1+x)-x$$ и докажите, что при $$x>-1$$ выполняется неравенство $$\ln(1+x)

Найдём производную функции:

$$f(x)=\ln(1+x)-x$$

$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{-x}{1+x}.$$

Область определения функции: $$x>-1.$$

Исследуем знак производной на этой области:

если $$-1<x<0,$$ то $$-x>0$$ и $$1+x>0,$$ значит $$f'(x)>0;$$
если $$x>0,$$ то $$-x<0$$ и $$1+x>0,$$ значит $$f'(x)<0.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-1;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;+\infty).$$

Докажем неравенство. Так как в точке $$x=0$$

$$f(0)=\ln(1+0)-0=0,$$

а при $$x>-1$$ функция не превосходит своего максимума в точке $$x=0,$$ то

$$f(x)\le 0,$$

то есть

$$\ln(1+x)-x\le 0.$$

Отсюда

$$\ln(1+x)\le x.$$

При $$x>-1,\ x\ne 0$$ получаем строгое неравенство:

$$\ln(1+x)<x.$$

Ответ

Функция возрастает на $$(-1;0]$$, убывает на $$[0;+\infty).$$ При $$x>-1$$ выполняется $$\ln(1+x)\le x,$$ а при $$x\ne 0$$ — $$\ln(1+x)<x.$$