Упр.8.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=x^?; 5) y=(x+1)/e^x; 9) y=10^(-x);
2) y=e^(-2x); 6) y=6^x; 10) y=(5^x+2)/(5^x-1);
3) y=x^6 e^x; 7) y=3^(4x+1); 11) y=0,7^ctg(x).
4) y=e^x cos(x); 8) y=(2x+1)^v10;

1. $$y=x^\pi$$

   По формуле производной степенной функции:

   $$y’=\pi x^{\pi-1}$$

2. $$y=e^{-2x}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=-2e^{-2x}$$

3. $$y=x^6e^x$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=6x^5e^x+x^6e^x$$

   $$y’=x^5e^x(6+x)$$

4. $$y=e^x\cos x$$

   Тогда

   $$y’=e^x\cos x-e^x\sin x$$

   $$y’=e^x(\cos x-\sin x)$$

5. $$y=\frac{x+1}{e^x}$$

   Представим функцию как произведение:

   $$y=(x+1)e^{-x}$$

   Тогда

   $$y’=1\cdot e^{-x}+(x+1)(-e^{-x})$$

   $$y’=-xe^{-x}=-\frac{x}{e^x}$$

6. $$y=6^x$$

   По формуле производной показательной функции:

   $$y’=6^x\ln 6$$

7. $$y=3^{4x+1}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=4\cdot 3^{4x+1}\ln 3$$

8. $$y=(2x+1)^{\sqrt{10}}$$

   Тогда

   $$y’=2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$$

9. $$y=10^{-x}$$

   По формуле производной показательной функции:

   $$y’=-10^{-x}\ln 10$$

10. $$y=\frac{5^x+2}{5^x-1}$$

    Применим правило производной частного:

    $$y’=\frac{5^x\ln 5\,(5^x-1)-(5^x+2)\cdot 5^x\ln 5}{(5^x-1)^2}$$

    Упростим:

    $$y’=\frac{5^x\ln 5\,(5^x-1-5^x-2)}{(5^x-1)^2}=-\frac{3\cdot 5^x\ln 5}{(5^x-1)^2}$$

11. $$y=0{,}7^{\ctg x}$$

    По формуле производной показательной функции и правилу цепочки:

    $$y’=0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7\cdot (\ctg x)’$$

    Так как

    $$ (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}, $$

    то

    $$y’=-\frac{0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7}{\sin^2 x}$$

Ответ

1. $$y’=\pi x^{\pi-1}$$
2. $$y’=-2e^{-2x}$$
3. $$y’=x^5e^x(6+x)$$
4. $$y’=e^x(\cos x-\sin x)$$
5. $$y’=-\frac{x}{e^x}$$
6. $$y’=6^x\ln 6$$
7. $$y’=4\cdot 3^{4x+1}\ln 3$$
8. $$y’=2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$$
9. $$y’=-10^{-x}\ln 10$$
10. $$y’=-\frac{3\cdot 5^x\ln 5}{(5^x-1)^2}$$
11. $$y’=-\frac{0{,}7^{\ctg x}\ln 0{,}7}{\sin^2 x}$$