Упр.8.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=e^x+x на промежутке [-1; 1];
2) f(x)=x^2 e^(2x) на промежутке [-2; 1];
3) f(x)=7^(x^2-2x) на промежутке [0; 2];
4) f(x)=2^x+2^(-x) на промежутке [-1; 1].
$$f(x)=e^x+x,\quad x\in[-1;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=e^x+1>0.$$
Значит, функция возрастает на всём промежутке $$[-1;1]$$. Тогда наименьшее значение достигается при $$x=-1$$, а наибольшее — при $$x=1$$:
$$f(-1)=e^{-1}-1=\frac{1}{e}-1,$$
$$f(1)=e+1.$$
$$f(x)=x^2e^{2x},\quad x\in[-2;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2xe^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}x(x+1).$$
Так как $$2e^{2x}>0$$, знак производной определяется выражением $$x(x+1)$$. Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=0$$.
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критических точках:
$$f(-2)=(-2)^2e^{-4}=\frac{4}{e^4},$$
$$f(-1)=(-1)^2e^{-2}=\frac{1}{e^2},$$
$$f(0)=0^2e^0=0,$$
$$f(1)=1^2e^2=e^2.$$
Наименьшее значение равно $$0$$, наибольшее — $$e^2$$.
$$f(x)=7^{x^2-2x},\quad x\in[0;2].$$
Преобразуем показатель степени:
$$x^2-2x=(x-1)^2-1.$$
Так как основание $$7>1$$, функция возрастает по показателю степени. На отрезке $$[0;2]$$ выражение $$x^2-2x$$ принимает наименьшее значение при $$x=1$$, а наибольшее — при $$x=0$$ и $$x=2$$:
$$f(0)=7^0=1,$$
$$f(1)=7^{-1}=\frac{1}{7},$$
$$f(2)=7^0=1.$$
$$f(x)=2^x+2^{-x},\quad x\in[-1;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2\left(2^x-2^{-x}\right).$$
Так как $$\ln 2>0$$, то знак производной определяется разностью $$2^x-2^{-x}$$. При $$x<0$$ имеем $$2^x<2^{-x}$$, при $$x>0$$ — $$2^x>2^{-x}$$, значит, функция убывает на $$[-1;0]$$ и возрастает на $$[0;1]$$. Следовательно, минимум достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=2^0+2^0=1+1=2.$$
Максимум достигается на концах отрезка:
$$f(-1)=2^{-1}+2^1=\frac12+2=\frac52,$$
$$f(1)=2^1+2^{-1}=2+\frac12=\frac52.$$
Ответ
1) $$e+1,\ \frac{1}{e}-1$$;
2) $$e^2,\ 0$$;
3) $$1,\ \frac{1}{7}$$;
4) $$\frac{5}{2},\ 2$$.
