Упр.8.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=e^(6-7x), если эта касательная параллельна прямой y=5-7x;
2) f(x)=e^x-e^(-x), если эта касательная параллельна прямой y=2x-3;
3) f(x)=6x-ln x, если эта касательная параллельна прямой y=x;
4) f(x)=ln (1-x), если эта касательная параллельна прямой y=1-х.

Подробный ответ

Для касательной, параллельной прямой $$y=5-7x,$$ её угловой коэффициент равен $$-7.$$
Найдём производную:
$$f(x)=e^{6-7x}, \qquad f'(x)=-7e^{6-7x}.$$
Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:
$$-7e^{6-7x}=-7 \Rightarrow e^{6-7x}=1 \Rightarrow 6-7x=0 \Rightarrow x=\frac67.$$
Найдём ординату точки касания:
$$f\!\left(\frac67\right)=e^{6-7\cdot \frac67}=e^0=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-7\left(x-\frac67\right),$$
откуда
$$y=7-7x.$$
Для прямой $$y=2x-3$$ угловой коэффициент равен $$2.$$
Найдём производную:
$$f(x)=e^x-e^{-x}, \qquad f'(x)=e^x+e^{-x}.$$
Приравниваем к 2:
$$e^x+e^{-x}=2.$$
Умножим на $$e^x$$:
$$e^{2x}+1=2e^x,$$
$$e^{2x}-2e^x+1=0,$$
$$\left(e^x-1\right)^2=0.$$
Следовательно, $$e^x=1,$$ значит $$x=0.$$
Точка касания:
$$f(0)=e^0-e^0=1-1=0.$$
Уравнение касательной:
$$y-0=2(x-0),$$
то есть
$$y=2x.$$
Для прямой $$y=x$$ угловой коэффициент равен $$1.$$
Найдём производную:
$$f(x)=6x-\ln x, \qquad f'(x)=6-\frac1x.$$
Приравниваем к 1:
$$6-\frac1x=1 \Rightarrow \frac1x=5 \Rightarrow x=\frac15.$$
Найдём значение функции в этой точке:
$$f\!\left(\frac15\right)=6\cdot \frac15-\ln\!\left(\frac15\right)=\frac65+\ln 5.$$
Уравнение касательной:
$$y-\left(\frac65+\ln 5\right)=1\left(x-\frac15\right).$$
После упрощения получаем:
$$y=x+1+\ln 5.$$
Для прямой $$y=1-x$$ угловой коэффициент равен $$-1.$$
Найдём производную:
$$f(x)=\ln(1-x), \qquad f'(x)=-\frac1{1-x}.$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$-\frac1{1-x}=-1 \Rightarrow \frac1{1-x}=1 \Rightarrow 1-x=1 \Rightarrow x=0.$$
Точка касания:
$$f(0)=\ln(1-0)=\ln 1=0.$$
Уравнение касательной:
$$y-0=-1(x-0),$$
то есть
$$y=-x.$$