Упр.8.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $$f(x)=(5^x-65)(5^x+15)$$.

Горизонтальная касательная к графику функции существует в тех точках, где производная равна нулю.

Преобразуем функцию:

$$f(x)=(5^x-65)(5^x+15)=5^{2x}-50\cdot 5^x-975.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cdot 5^{2x}\ln 5-50\cdot 5^x\ln 5.$$

Приравняем её к нулю:

$$2\cdot 5^{2x}\ln 5-50\cdot 5^x\ln 5=0$$

$$5^x\ln 5\,(2\cdot 5^x-50)=0.$$

Так как $$5^x>0$$ и $$\ln 5\neq 0,$$ получаем:

$$2\cdot 5^x-50=0,$$

$$5^x=25,$$

$$x=2.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(2)=(5^2-65)(5^2+15)=(25-65)(25+15)=-40\cdot 40=-1600.$$

Следовательно, уравнение горизонтальной касательной:

$$y=-1600.$$

Ответ

$$y=-1600$$