Упр.8.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1. $$f(x)=e^x+e^{-x}$$;
2. $$f(x)=(2^x-7)(2^x-9)$$.

1. Для горизонтальной касательной нужно найти точки, в которых производная равна нулю.

   $$f(x)=e^x+e^{-x}$$
   $$f'(x)=e^x-e^{-x}$$
   $$e^x-e^{-x}=0$$
   $$e^x=e^{-x}$$
   $$x=-x$$
   $$x=0$$

   Найдём значение функции в этой точке:
   $$f(0)=e^0+e^{-0}=1+1=2$$

   Уравнение горизонтальной касательной:

   $$y=2$$

2. $$f(x)=(2^x-7)(2^x-9)$$

   Обозначим $$t=2^x$$. Тогда
   $$f(x)=(t-7)(t-9)=t^2-16t+63$$

   Производная:
   $$f'(x)=2^x\ln 2\,(2^x-9)+2^x\ln 2\,(2^x-7)$$
   $$f'(x)=2^x\ln 2\,(2^x+2^x-16)$$
   $$f'(x)=2^x\ln 2\,(2^{x+1}-16)$$

   Приравниваем к нулю:
   $$2^x\ln 2\,(2^{x+1}-16)=0$$
   $$2^{x+1}-16=0$$
   $$2^{x+1}=16=2^4$$
   $$x+1=4$$
   $$x=3$$

   Найдём значение функции:
   $$f(3)=(2^3-7)(2^3-9)=(8-7)(8-9)=-1$$

   Уравнение горизонтальной касательной:

   $$y=-1$$

Ответ

1) $$y=2$$; 2) $$y=-1$$.