Упр.8.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   1) $$f(x)=e^{5x}$$, $$x_0=0$$;
   4) $$f(x)=4x-\ln 4$$, $$x_0=1$$;
   2) $$f(x)=2e^x-\cos(x)$$, $$x_0=0$$;
   5) $$f(x)=\ln(3x-5)$$, $$x_0=2$$;
   3) $$f(x)=3^{2x-3}$$, $$x_0=2$$;
   6) $$f(x)=\log_2(x+3)$$, $$x_0=1$$.

1. $$f(x)=e^{5x}, \quad x_0=0$$

   $$f(0)=e^{5\cdot 0}=1$$

   $$f'(x)=5e^{5x}$$

   $$f'(0)=5e^{5\cdot 0}=5$$

   Уравнение касательной:

   $$y=1+5(x-0)=1+5x$$

2. $$f(x)=2e^x-\cos x, \quad x_0=0$$

   $$f(0)=2e^0-\cos 0=2-1=1$$

   $$f'(x)=2e^x+\sin x$$

   $$f'(0)=2e^0+\sin 0=2$$

   Уравнение касательной:

   $$y=1+2(x-0)=1+2x$$

3. $$f(x)=3^{2x-3}, \quad x_0=2$$

   $$f(2)=3^{2\cdot 2-3}=3$$

   $$f'(x)=3^{2x-3}\cdot 2\ln 3$$

   $$f'(2)=3^{2\cdot 2-3}\cdot 2\ln 3=6\ln 3$$

   Уравнение касательной:

   $$y=3+6\ln 3\,(x-2)$$

4. $$f(x)=4x-\ln 4, \quad x_0=1$$

   $$f(1)=4\cdot 1-\ln 4=4-\ln 4$$

   $$f'(x)=4$$

   $$f'(1)=4$$

   Уравнение касательной:

   $$y=4-\ln 4+4(x-1)=4x-\ln 4$$

5. $$f(x)=\ln(3x-5), \quad x_0=2$$

   $$f(2)=\ln(3\cdot 2-5)=\ln 1=0$$

   $$f'(x)=\frac{3}{3x-5}$$

   $$f'(2)=\frac{3}{3\cdot 2-5}=3$$

   Уравнение касательной:

   $$y=0+3(x-2)=3x-6$$

6. $$f(x)=\log_2(x+3), \quad x_0=1$$

   $$f(1)=\log_2(1+3)=\log_2 4=2$$

   $$f'(x)=\frac{1}{(x+3)\ln 2}$$

   $$f'(1)=\frac{1}{(1+3)\ln 2}=\frac{1}{4\ln 2}$$

   Уравнение касательной:

   $$y=2+\frac{1}{4\ln 2}(x-1)$$

Ответ

1) $$y=1+5x$$; 2) $$y=1+2x$$; 3) $$y=3+6\ln 3\,(x-2)$$; 4) $$y=4x-\ln 4$$; 5) $$y=3x-6$$; 6) $$y=2+\frac{x-1}{4\ln 2}$$.